ago 23

Prossime presentazioni

L’estate va avanti e procede così anche il mio tour di presentazioni (ok, forse “tour” è una parola grossa, ma sembra molto serio).

  • 24 agosto 2012. In qualità di studente alla Scuola estiva di Logica organizzata dall’AILA, presenterò il libro nel pomeriggio, a Palazzo Feltrinelli, Gargnano (Brescia). Chi passasse da queste parti può fare un salto e sarà ricompensato adeguatamente, ad esempio con l’opportunità di acquistare una copia a prezzo scontato.
  • 1. settembre 2012. Finalmente una presentazione nella mia terra natìa, ovvero la Liguria. Nel pomeriggio presenterò il libro presso il Ristorante Giappun, in Via Maonaira a Vallecrosia.
  • Novembre 2012. In una data ancora da definire e con modalità a sorpresa ci sarà la presentazione del libro anche a Pavia, finalmente. Stay tuned!

ago 14

Il concorso di bellezza

La festa di fine anno è sempre stato un momento che Pinocchio e Lucignolo non si sarebbero persi per nulla al mondo.

«Se la scuola fosse sempre così, sarebbe molto più divertente, no?» disse il burattino.

«Su questo nessun dubbio» rispose prontamente l’amico. «Questi adulti non sanno proprio cosa piace a noi bambini, tranne alla fine dell’anno: è possibile che ci mettano sempre così tanto tempo per capirlo?».

Improvvisamente un applauso scrosciante interruppe la discussione tra i due amici. Il preside della scuola stava prendendo la parola.

«Quest’anno» disse «abbiamo pensato di eleggere la reginetta della scuola. E ovviamente a farlo sarete voi».

Altro scroscio di applausi.

«Inoltre, per incentivarvi a partecipare, abbiamo deciso di premiare alcuni di voi».

Così dicendo, indicò un oggetto coperto da un telo. E qui gli applausi si sprecarono.

«Tra coloro che voteranno la vincitrice, verrà estratto un bellissimo carretto di legno». Sollevò quindi il telo, sotto il quale comparve nel suo splendore il regalo tanto agognato da tutti i bambini (e burattini, ovviamente). Il colore, un rosso smaltato ultra riflettente, lasciava intendere che l’oggetto dovesse essere molto veloce: a volte sembra davvero incomprensibile di come un colore possa donare a un oggetto statico caratteristiche dinamiche tutte da dimostrare.

«Devo vincerlo io» disse Pinocchio.

«Allora mi sa che in questa sfida non saremo amici» rispose Lucignolo: «sono anni che desidero un carrettino, e non mi farò certo scappare questa occasione».

Ai due, così come a tutti gli altri alunni, venne quindi fornito un foglio con i ritratti delle bambine della scuola, nessuna esclusa.

«Per me la più bella è Anita» commentò il burattino, senza aver bisogno di pensarci nemmeno un attimo.

«Che novità, lo sanno tutti che ti piace. Io preferisco Beatrice, invece, e mi sa che voterò per quella».

«Eh, ma così non vinceremo mai, se i voti risulteranno così diversi e divisi a seconda dei gusti».

«Hai ragione, amico mio, non possiamo basarci sui nostri gusti. Dobbiamo pensare come pensano i nostri compagni».

«Ma come facciamo?» si chiese Pinocchio.

«Si vede che tu non sei esperto di gossip. Qui tutti si fidano di me, quindi conosco a menadito le preferite di molti bambini della nostra classe».

«Davvero?».

«Certo!» fece Lucignolo annuendo col capo.

«Anche in questo caso, però, non sapremo mai se loro voteranno come noi immaginiamo, oppure se anche loro si porranno il medesimo problema, magari senza sapere i pettegolezzi».

«Mannaggia, non ci avevo pensato! Dobbiamo quindi capire quale è la ragazza che più pensiamo che gli altri pensino che piaccia».

«Esatto! Ma analogamente tutti faranno così: forse occorre aggiungere un livello» sentenziò orgogliosamente Lucicnolo.

«Non sono sicuro che funzioni davvero. Ricordi il ragionamento del capitolo 15? Procedendo all’infinito, pensavamo che l’esame non si sarebbe fatto. E invece il maestro ci ha colto di sorpresa».

«Non saprei, forse hai ragione. Vota Anita, allora, così io voto Beatrice».

Appena Lucignolo si fu accertato che Pinocchio aveva espresso la sua preferenza per Anita, barrò anche lui la medesima casella. I due poi consegnarono il foglio, in attesa del responso.

L’angolo del grillo parlante

Forse qualcuno penserà che non ci sia alcun paradosso in questa storiella, mentre invece a cercarlo bene si trova eccome. Partendo dal ragionamento di Lucignolo, è effettivamente corretto pensare in modo laterale con frasi del tipo “quale sarà la ragazza più bella secondo la maggioranza?”, per poi deviare all’infinito verso “quale sarà la ragazza che la maggioranza penserà essere la più bella secondo la maggioranza?”, e così via.

Il primo a porsi questo problema (senza paradossi) è stato il famoso economista John Maynard Keynes. Nel capitolo 12 del suo Teoria generale dell’occupazione, dell’interesse e della moneta, infatti il celebre studioso britannico diede una svolta nello studio della fluttuazione dei prezzi delle azioni sui vari mercati mondiali. Secondo la teoria, il valore di mercato di una determinata azienda non dipende solamente dall’andamento o dal capitale dell’azienda stessa, bensì anche, in buona parte, dalla percezione che gli investitori avevano di questa azienda.

Così nel concorso di bellezza cui sono sottoposti Pinocchio e Lucignolo, questi cercano di capire quale sia la più bella secondo gli altri partecipanti, ignorando di fatto la loro preferenza (tranne l’ingenuo Pinocchio dell’ultimo minuto).

Il nome di questo studio prende il nome da un concorso di bellezza effettivamente svolto da una rivista britannica: sarebbe stato premiato un lettore estratto a sorte tra quelli che avessero scelto la ragazza più votata. Si scoprì poi che i lettori del giornale cercarono di capire quale fosse la preferita dalla massa, piuttosto che scegliere effettivamente quella reputata più attraente.

lug 23

Presentazione del libro

Informazione di servizio. Segnalo che da giovedì 26 a domenica 29 luglio 2012 si terrà la nuova edizione del Festival di Giochi Matematici “Tutto è numero“. L’evento si svolgerà a Caldé, un piccolo paradiso sito sulla costa est del Lago Maggiore. È prevista anche una presentazione di “Pinocchio nel paese dei paradossi”, a cui ovviamente presenzierò, e saranno disponibili alcune copie del libro per l’acquisto. Accorrete numerosi!

lug 17

Il paradosso del compleanno: una variante

Pinocchio e Colombina, dopo aver risolto il dilemma di Mangiafuoco del capitolo 5, furono finalmente liberati dal burattinaio. Il quale, nonostante la nomea, non era poi così cattivo come voleva sembrare.

«Chissà quanti burattini nascono in un certo giorno» si chiese Colombina, pensierosa.

«Non saprei» replicò Pinocchio. «Dici che ogni giorno ne nascono tanti?».

«Forse dipenderà dal legname che viene prodotto» rispose la compagna di viaggio.

«Perché?».

«Ti ricordo che siamo fatti di legno, amico mio».

«Ah, già, è vero. Ma dici che ci sono giorni in cui si taglia più legna?».

«Probabilmente in estate, quando il tempo è migliore».

«Chissà se anche per gli umani vale una cosa simile» si chiese il burattino.

«Non lo so, Pinocchio. Non ho idea di come gli umani vengano prodotti. Magari ci sono stagioni più prolifiche di altre anche per loro».

«E dici che questo potrebbe modificare il ragionamento di cui hai parlato capitolo 4?».

«Magari sì» rispose. «D’altra parte, una delle ipotesi più forti del ragionamento era proprio quella secondo la quale la distribuzione delle nascite è più o meno uniforme, ovvero in ogni giorno dell’anno nascono più o meno gli stessi burattini».

«E cosa succederebbe se ci fossero più o meno burattini nati nello stesso giorno, per esempio il 31 novembre?».

«Penso nulla, visto che il 31 novembre non esiste» rispose prontamente Colombina, sorridendo all’ingenuo Pinocchio. Poi continuò: «In generale, comunque, una qualsiasi quantità che si discosti dalla distribuzione uniforme cambierebbe il problema a vantaggio del mio calcolo. Potrebbe anche capitare che, in caso di grande discrepanza, il numero minimo per cui valga la pena scommettere sia minore di 23».

«Davvero? E perché?».

«Pensa al caso estremo. Immagina ad esempio che più di metà dei burattini siano nati in uno stesso giorno, per esempio il 31 gennaio, mentre l’altra metà sia uniformemente distribuita sugli altri giorni. È chiaro che trovare due burattini nati lo stesso giorno è molto più facile, no?».

«In effetti sì».

«Peccato non poter sapere quando sono nati tutti i burattini, vero?» si chiese Colombina.

«Già, si potrebbero fare gli auguri puntualmente a tutti» rispose Pinocchio, ridendo.

I due, così dicendo, proseguirono per la loro strada.

L’angolo del Grillo parlante

Il problema posto da Colombina è forse difficile per i burattini, ma può essere ben approssimato per gli esseri umani. Il punto sta nel trovare dati statistici affidabili sul numero di persone nate ogni giorno. L’ideale sarebbe poter accedere all’anagrafe di qualche comune, ma non si tratta sicuramente di dati facilmente ottenibili con una semplice richiesta (o forse sì, chissà). C’è un modo molto più semplice per ottenere questo tipo di dati aggregati, e ci è offerta dalla più vasta enciclopedia del mondo: Wikipedia. In essa si trovano infatti decine di migliaia di biografie di persone sparse per il mondo, e per ognuna di essere è facilmente individuabile la data di nascita. Esiste addirittura un progetto parallelo di Wikipedia, dbpedia, che si è preoccupato di raccogliere tutti questi dati e renderli fruibili in maniera schematica e comoda per una rapida analisi, proprio come in questo caso.

È stato quindi facile calcolare la probabilità che una persona sia nata in un determinato giorno e, conseguentemente, capire quale sia la probabilità che in gruppo dato di n persone ce ne siano due che condividono il compleanno.

Nonostante la buona volontà di chi ha scritto questi dati e di chi li ha raccolti e aggregati, ci sono alcuni errori: non mancano, per la gioia di Pinocchio, biografie di persone nate il 31 novembre o, addirittura, il 31 febbraio. Sono stati quindi eliminati questi dati, insieme con quelli relativi al 29 febbraio, che complicano solamente i calcoli senza aggiungere significatività statistica (come già fatto notare in vari studi facilmente reperibili online).

Ebbene, sono uscite alcune particolarità nella distribuzione: nei giorni “normali” questa distribuzione oscilla tra il 2,5 e il 3 per mille, tranne nel primo giorno dell’anno, in cui questa probabilità è del 4,8 per mille, quasi il doppio del normale. Ci stupisce questa informazione? Assolutamente no: è una semplice conferma della celebre “corsa” che le madri fanno per avere il primo nato dell’anno (che ogni volta finisce inevitabilmente protagonista di qualche servizio sul telegiornale nazionale).

Per il resto, però, purtroppo nessuna novità: il numero di persone presenti a una festa per il quale conviene scommettere sul compleanno “sincronizzato” rimane 23. Varia solo di poco la probabilità: in caso di distribuzione uniforme la probabilità di vittoria in caso di 22 persone è del 46,94%, mentre con la distribuzione reale questa percentuale sale 47,14%, ancora inferiore al 50% e quindi non conveniente per una scommessa.

(I dati utilizzati per questo calcolo sono stati presi da dbpedia 3.6, che ha raccolto e uniformato le informazioni di Wikipedia in lingua inglese di ottobre 2010)

lug 03

Zenone nel Paese dei balocchi

«Allora, Pinocchio, non vuoi partecipare al brindisi?» disse il buon Lucignolo.
«Certo che sì» rispose il burattino.

L’Omino del Paese dei balocchi porse quindi un bicchiere a Pinocchio. Era pieno di succo d’uva, proprio quello di cui andava matto.

«Ma non è tanto pieno. Quello di Lucignolo ne ha di più» si lamentò il burattino.
«Lo so» rispose l’uomo. «Purtroppo la quantità di succo a mia disposizione non era tantissimo, solamente cinque litri. Mentre voi, come già spiegato nel capitolo 17, siete tantissimi, anzi infiniti».
«Si poteva dare poco poco, ma a tutti».
«Impossibile! Una qualsiasi quantità di succo, anche piccola, ne avrebbe generato comunque una infinita, se moltiplicata per infiniti bambini».
«Già. E quindi come avete diviso il nettare da me tanto amato?» disse Pinocchio bevendone in un sol colpo la sua razione.
«Più o meno come Zenone ha descritto il paradosso del capitolo 18, ovvero dividendo a metà ogni volta. Al primo bambino riempirò il bicchiere per metà, al secondo un quarto, al terzo un ottavo e così via».
«Ma come fate a sapere di Zenone? Deve ancora capitare, è nel prossimo capitolo».
«Be’, chi visita questo blog ha già letto tutto, no? Non penso che abbia interrotto la lettura del libro, magari perché annoiato, e poi abbia deciso di osare visitare il sito web».
«Forse avete ragione. Brindiamo quindi a questo luogo magico, pieno di giochi, dove non si studia mai».
«Alla salute!».

L’angolo del grillo parlante

Chi ha davvero già letto il capitolo sui paradossi di Zenone potrà avere intuito come l’Omino abbia diviso il succo d’uva.
In particolare, avrà fatto in modo che il bicchiere del primo bambino fosse riempito a metà, il secondo fosse riempito un quarto, il terzo un ottavo e così via, fino all’infinito. Dimezzando di volta in volta la quantità, infatti, si otterrà alla fine una somma totale uguale a 1, ovvero alla quantità iniziale di succo (anzi, alla capienza di un bicchiere pieno), divisa sì in modo iniquo, ma tra infiniti bambini. Ci sarebbe poi il problema “fisico” relativo a una divisione siffatta (si veda il capitolo 3), tuttavia possiamo soprassedere su questo particolare.

Le somme di questo tipo, in matematica, vengono dette serie convergenti. In particolare “serie” indica che stiamo eseguendo una somma infinita di termini, mentre “convergente” denota il suo comportamento in questo caso particolare: essa infatti non ha come somma un numero infinito, ma un preciso numero intero, cioè 1.

Il simbolo usato per denotare le serie è la lettera greca sigma maiuscola Sigma. Sotto il simbolo sigma si inserisce il punto di partenza, e sopra quello di arrivo. Quindi, la somma precedente diventa

sum{n=1}{+infty}{(1/2)^n}=1/2 + 1/4 + 1/8 + cdots

perché stiamo “contando” i bambini etichettandoli con un numero che va da 1 a infinito. Come abbiamo già detto, questa somma in totale fa 1.

L’Omino, però, ha a disposizione cinque litri di succo d’uva. Ammettendo che il bicchiere di ciascun bambino possa contenere circa 10 centilitri di liquido, sarebbe uno spreco utilizzare Zenone così com’è out-of-the-box. Riempiendo infatti il primo bicchiere per metà, il secondo per un quarto, il terzo per un ottavo e così via, alla fine si utilizzerebbero solamente 10 centilitri di nettare (un bicchiere), ovvero un cinquantesimo di quello che si ha a disposizione. Come fare per non sprecarlo, riempiendo maggiormente ciascun bicchiere, mantenendo però la regola che il rapporto tra il contenuto di un bicchiere e il successivo rimanga costante (non necessariamente 1/2 come nel caso descritto)?

Un primo approccio, ingenuo, al problema potrebbe essere moltiplicare per 50 il contenuto di ciascun bicchiere. Per una legge matematica la cui dimostrazione esula dallo scopo di questo post, moltiplicando ciascun elemento di una serie per un determinato numero, anche il totale sarà conseguentemente moltiplicato per lo stesso valore. Il problema, però, diventa pratico: moltiplicando per 50 il contenuto del primo bicchiere (metà di 10 centilitri, quindi 5 centilitri) otteniamo 250 centilitri, ovvero due litri e mezzo, che purtroppo non possono essere contenuti nel bicchiere. Ecco che siamo quindi giunti a una conclusione corretta da un punto di vista matematico, ma scorretta se si considerano le limitazioni imposte dal gioco.

Per ottenere la soluzione è necessario cambiare il rapporto di 1/2. Bisognerà sì riempire un pochino di più ciascun bicchiere, ma facendo in modo che questo “di più” sia meno evidente in quelli che già con la prima divisione erano più pieni, a favore di quelli che erano più vuoti.

Un trucco per ottenere questo risultato è partire dalla generica serie a rapporto costante, detta serie geometrica:

sum{n=1}{+infty}{x^n}=x + x^2 + x^3 + cdots

Ovviamente la nostra x dovrà essere minore di 1, così come lo era per il caso precedente (infatti era, per l’appunto, 1/2). Se così non fosse, la serie non sarebbe più convergente. Basta provare nel semplice caso in cui x=1: tutti i valori sarebbero uguali a 1, e abbiamo già detto che in questo caso la somma non è convergente (ma divergente, termine utilizzato per indicare una serie il cui totale è infinito). È dimostrato che tutte le serie in cui x è minore di 1 convergono. In particolare, la somma totale può essere scritta a partire da x ed è

sum{n=1}{+infty}{x^n}=x/{1-x}.

Provando a sostituire 1/2 al posto di x si vede subito che i conti tornano (e il totale viene 1). Ora, noi abbiamo 5 litri di succo a disposizione (500 centilitri) e in un bicchiere ci stanno 10 centilitri. Il totale che abbiamo a disposizione è quindi 50 volte più capiente del bicchiere. Poniamo

50=x/{1-x}

e svolgiamo i conti. Con un po’ di passaggi algebrici otteniamo

x=50/51.

Il primo bicchiere, quindi, andrà riempito per 50/51 (risultando quasi pieno); il secondo per (50/51)^2=2500/2601; il terzo per (50/51)^3=125000/132651, e così via. Sarà forse un po’ complicato per l’Omino fare le giuste proporzioni, però ci sarà succo d’uva per tutti gli infiniti bambini senza che ne avanzi nemmeno una goccia.

giu 19

Benvenuti

Benvenuti nel sito web del libro “Pinocchio nel paese dei paradossi”, pubblicato nel giugno 2012 da Sironi Editore. In queste pagine potrete trovare, settimanalmente, approfondimenti di logica e matematica divulgativa, con collegamenti con i vari capitoli del libro.