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lug 03

Zenone nel Paese dei balocchi

«Allora, Pinocchio, non vuoi partecipare al brindisi?» disse il buon Lucignolo.
«Certo che sì» rispose il burattino.

L’Omino del Paese dei balocchi porse quindi un bicchiere a Pinocchio. Era pieno di succo d’uva, proprio quello di cui andava matto.

«Ma non è tanto pieno. Quello di Lucignolo ne ha di più» si lamentò il burattino.
«Lo so» rispose l’uomo. «Purtroppo la quantità di succo a mia disposizione non era tantissimo, solamente cinque litri. Mentre voi, come già spiegato nel capitolo 17, siete tantissimi, anzi infiniti».
«Si poteva dare poco poco, ma a tutti».
«Impossibile! Una qualsiasi quantità di succo, anche piccola, ne avrebbe generato comunque una infinita, se moltiplicata per infiniti bambini».
«Già. E quindi come avete diviso il nettare da me tanto amato?» disse Pinocchio bevendone in un sol colpo la sua razione.
«Più o meno come Zenone ha descritto il paradosso del capitolo 18, ovvero dividendo a metà ogni volta. Al primo bambino riempirò il bicchiere per metà, al secondo un quarto, al terzo un ottavo e così via».
«Ma come fate a sapere di Zenone? Deve ancora capitare, è nel prossimo capitolo».
«Be’, chi visita questo blog ha già letto tutto, no? Non penso che abbia interrotto la lettura del libro, magari perché annoiato, e poi abbia deciso di osare visitare il sito web».
«Forse avete ragione. Brindiamo quindi a questo luogo magico, pieno di giochi, dove non si studia mai».
«Alla salute!».

L’angolo del grillo parlante

Chi ha davvero già letto il capitolo sui paradossi di Zenone potrà avere intuito come l’Omino abbia diviso il succo d’uva.
In particolare, avrà fatto in modo che il bicchiere del primo bambino fosse riempito a metà, il secondo fosse riempito un quarto, il terzo un ottavo e così via, fino all’infinito. Dimezzando di volta in volta la quantità, infatti, si otterrà alla fine una somma totale uguale a 1, ovvero alla quantità iniziale di succo (anzi, alla capienza di un bicchiere pieno), divisa sì in modo iniquo, ma tra infiniti bambini. Ci sarebbe poi il problema “fisico” relativo a una divisione siffatta (si veda il capitolo 3), tuttavia possiamo soprassedere su questo particolare.

Le somme di questo tipo, in matematica, vengono dette serie convergenti. In particolare “serie” indica che stiamo eseguendo una somma infinita di termini, mentre “convergente” denota il suo comportamento in questo caso particolare: essa infatti non ha come somma un numero infinito, ma un preciso numero intero, cioè 1.

Il simbolo usato per denotare le serie è la lettera greca sigma maiuscola Sigma. Sotto il simbolo sigma si inserisce il punto di partenza, e sopra quello di arrivo. Quindi, la somma precedente diventa

sum{n=1}{+infty}{(1/2)^n}=1/2 + 1/4 + 1/8 + cdots

perché stiamo “contando” i bambini etichettandoli con un numero che va da 1 a infinito. Come abbiamo già detto, questa somma in totale fa 1.

L’Omino, però, ha a disposizione cinque litri di succo d’uva. Ammettendo che il bicchiere di ciascun bambino possa contenere circa 10 centilitri di liquido, sarebbe uno spreco utilizzare Zenone così com’è out-of-the-box. Riempiendo infatti il primo bicchiere per metà, il secondo per un quarto, il terzo per un ottavo e così via, alla fine si utilizzerebbero solamente 10 centilitri di nettare (un bicchiere), ovvero un cinquantesimo di quello che si ha a disposizione. Come fare per non sprecarlo, riempiendo maggiormente ciascun bicchiere, mantenendo però la regola che il rapporto tra il contenuto di un bicchiere e il successivo rimanga costante (non necessariamente 1/2 come nel caso descritto)?

Un primo approccio, ingenuo, al problema potrebbe essere moltiplicare per 50 il contenuto di ciascun bicchiere. Per una legge matematica la cui dimostrazione esula dallo scopo di questo post, moltiplicando ciascun elemento di una serie per un determinato numero, anche il totale sarà conseguentemente moltiplicato per lo stesso valore. Il problema, però, diventa pratico: moltiplicando per 50 il contenuto del primo bicchiere (metà di 10 centilitri, quindi 5 centilitri) otteniamo 250 centilitri, ovvero due litri e mezzo, che purtroppo non possono essere contenuti nel bicchiere. Ecco che siamo quindi giunti a una conclusione corretta da un punto di vista matematico, ma scorretta se si considerano le limitazioni imposte dal gioco.

Per ottenere la soluzione è necessario cambiare il rapporto di 1/2. Bisognerà sì riempire un pochino di più ciascun bicchiere, ma facendo in modo che questo “di più” sia meno evidente in quelli che già con la prima divisione erano più pieni, a favore di quelli che erano più vuoti.

Un trucco per ottenere questo risultato è partire dalla generica serie a rapporto costante, detta serie geometrica:

sum{n=1}{+infty}{x^n}=x + x^2 + x^3 + cdots

Ovviamente la nostra x dovrà essere minore di 1, così come lo era per il caso precedente (infatti era, per l’appunto, 1/2). Se così non fosse, la serie non sarebbe più convergente. Basta provare nel semplice caso in cui x=1: tutti i valori sarebbero uguali a 1, e abbiamo già detto che in questo caso la somma non è convergente (ma divergente, termine utilizzato per indicare una serie il cui totale è infinito). È dimostrato che tutte le serie in cui x è minore di 1 convergono. In particolare, la somma totale può essere scritta a partire da x ed è

sum{n=1}{+infty}{x^n}=x/{1-x}.

Provando a sostituire 1/2 al posto di x si vede subito che i conti tornano (e il totale viene 1). Ora, noi abbiamo 5 litri di succo a disposizione (500 centilitri) e in un bicchiere ci stanno 10 centilitri. Il totale che abbiamo a disposizione è quindi 50 volte più capiente del bicchiere. Poniamo

50=x/{1-x}

e svolgiamo i conti. Con un po’ di passaggi algebrici otteniamo

x=50/51.

Il primo bicchiere, quindi, andrà riempito per 50/51 (risultando quasi pieno); il secondo per (50/51)^2=2500/2601; il terzo per (50/51)^3=125000/132651, e così via. Sarà forse un po’ complicato per l’Omino fare le giuste proporzioni, però ci sarà succo d’uva per tutti gli infiniti bambini senza che ne avanzi nemmeno una goccia.

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